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%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\rhead{\small 7 septembre 2009}%tapez un titre
\lfoot{\small{Développements - Factorisation}}
\rfoot{\small{Lycée M.Utrillo - Stains}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{ \decofourleft~Développements - Factorisation \decofourright}}} \end{center}

\normalsize{}

\section{Développements. Exercices et applications}

\begin{exo} Application directe \end{exo}
\'Ecrire sous forme développée et réduite les expressions suivantes :\\

\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] $A(x)=(x+4)(x+2)$
  \item[$\bullet$] $B(x)=(2x+3)(3x+5)$
  \item[$\bullet$] $C(x)=(3x+6)(7x+2)$
  \item[$\bullet$] $D(t)=(t-4)(t-2)$
  \item[$\bullet$] $E(t)=(2t-1)(t+3)$
  \item[$\bullet$] $F(t)=(4t+5)(-2t-1)$
  \item[$\bullet$] $G(t)=(-t-1)(-t+1)$
  \item[$\bullet$] $H(t)=(-4t-5)(2t+6)$
\end{itemize}
 

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] $J(x)=(x-4)^2$
  \item[$\bullet$] $K(x)=(2x+3)^2$
  \item[$\bullet$] $L(x)=(3x-7)^2$
  \item[$\bullet$] $M(x)=(x-8)(x+8)$
  \item[$\bullet$] $N(x)=(3x-4)(3x+4)$
  \item[$\bullet$] $P(x)=(2x-1)^2$
  \item[$\bullet$] $Q(t)=(2t+5)^2$
  \item[$\bullet$] $R(t)=(7t-11)(7t+11)$
\end{itemize}
\end{minipage}


\begin{exo} Un peu plus compliqué... \end{exo}
Développer et réduire les expressions suivantes, extraites d'annales de brevet...
\begin{enumerate}
\item $D = (5x -  3)^2 - 81$
\item $E = (2x + 3)^2 -36$
\item $A =  (2x - 5) (x +  3) - (2x - 5)^2$
\item B $ = (2x - 3)(x - 4) - (2x - 3)^2$
\item $F =  (3x -5)(5- 2x) - (3x - 5)^2$
\item $C=9x^{2}-49+\left(3x+7 \right) \left(2x+3 \right)$
\item G = $(3x - 1)(x + 5) - (3x - 1)^2$
\end{enumerate}


\begin{exo} Un extrait de brevet (Liban 2009)\end{exo}
Soit $A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $a =1$ et $b =5$.
\item Calculer $A$ pour $a =-2$ et $b =-3$.
\item Alex affirme que le nombre $A$ est égal au produit des nombres $a$ et $b$. A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{exo} Fonctions équivalentes? \end{exo}
On considère les deux fonctions, définies par les expressions suivantes :
$$f(x)=3x-4+\dfrac{2}{x-1}$$
$$g(x)=\dfrac{3x^2-7x+6}{x-1}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer f(2) et g(2), les images de 2 par f et g.
\item Ce résultat vous permet-il de répondre à la question de l'exercice?
\item Répondez à la question de l'énoncé par un argument irréfutable.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{exo} Fonctions équivalentes (suite)? \end{exo}
On considère les deux fonctions, définies par les expressions suivantes :
$$f(x)=x-2+\dfrac{2x-1}{x+4}$$
$$g(x)=\dfrac{x^2+4x-9}{x-1}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les images de 1 par f et g.
\item Ce résultat vous permet-il de répondre à la question de l'exercice?
\item Répondez à la question de l'énoncé par un argument irréfutable.
\end{enumerate}

\begin{exo} Fonctions équivalentes (suite et fin)? \end{exo}
On considère les deux fonctions, définies par les expressions suivantes :
$$f(x)=4x-5+\dfrac{3x-2}{2x+1}$$
$$g(x)=\dfrac{4x^2+4x-9}{2x+1}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les images de 0 par f et g.
\item Ce résultat vous permet-il de répondre à la question de l'exercice?
\item Répondez à la question de l'énoncé par un argument irréfutable.
\end{enumerate}

\begin{exo}\end{exo}
\begin{enumerate}
\item Développer $(x- 1)^2$. 

Justifier que $99^2 = \nombre{9801}$ en utilisant le développement précédent. 
\item Développer $(x -1)(x+ 1)$.
 
Justifier que $99 \times 101 = \nombre{9999}$ en utilisant le développement précédent.
\end{enumerate}


\section{Factorisation. Exercices et applications}


\begin{exo} Application directe \end{exo}
\'Ecrire sous forme factorisée les expressions suivantes :\\

\begin{minipage}[c]{0.55\linewidth}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] $A(x)=(x+4)(x+2)+(x+4)(3x+5)$
  \item[$\bullet$] $B(x)=(2x-3)(3x+5)+(2x-3)(4x-2)$
  \item[$\bullet$] $C(x)=(3x+6)(7x+2)-(7x+2)(2x+9)$
  \item[$\bullet$] $D(t)=(t-4)(t-2)-(t-4)^2$
  \item[$\bullet$] $E(t)=(2t-1)(t+3)+(2t-1)(-2t-4)$
  \item[$\bullet$] $F(t)=(4t+5)(-2t-1)-(-2t-1)(2t-1)$
  \item[$\bullet$] $G(t)=(-t-1)(-t+1)-(t+1)(3t+4)$
  \item[$\bullet$] $H(t)=(-4t-5)(2t+6)+(4t+5)(-t+7)$
\end{itemize}
 

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.35\linewidth}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] $J(x)=x^2-8x+16$
  \item[$\bullet$] $K(x)=4x^2+24x+36$
  \item[$\bullet$] $L(x)=9x^2-81$
  \item[$\bullet$] $M(x)=x^2-36$
  \item[$\bullet$] $N(x)=25x^2+30x+9$
  \item[$\bullet$] $P(x)=81x^2-65$
  \item[$\bullet$] $Q(t)=t^2-22t+121-100$
  \item[$\bullet$] $R(t)=49t^2+98t-80$
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{exo} Application à la résolution d'équations \end{exo}
Dans chacun des cas suivants, factoriser l'expression $A(x)$, puis trouver les valeurs pour lesquelles A s'annule.
\begin{enumerate}
\item $A(x) = (5x -  3)^2 - 81$
\item $A(x) = (2x + 3)^2 -36$
\item $A(x) =  (2x - 5) (x +  3) - (2x - 5)^2$
\item A(x) $ = (2x - 3)(x - 4) - (2x - 3)^2$
\item $A(x) =  (3x -5)(5- 2x) - (3x - 5)^2$
\item $A(x)=9x^{2}-49+\left(3x+7 \right) \left(2x+3 \right)$
\item A(x) = $(3x - 1)(x + 5) - (3x - 1)^2$
\end{enumerate}

\section{Petits problèmes}



\begin{exo} Nouvelle-Calédonie 2008\end{exo}
\[E = (2x - 3)^2 + (2x - 3)(x + 8)\]

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire l'expression algèbrique $E$.

\item Factoriser l'expression algèbrique $E$, puis résoudre l'équation $E(x)=0$.

\item Calculer l'expression $E$ quand $x = \dfrac{3}{2}.$
\end{enumerate}


\begin{exo}\end{exo}
On considère les nombres suivants :

\[\text{A} = \nombre{1001} \times 999 - 999^2\quad 	\text{B} = 57 \times 55 - 55^2\quad 	\text{et} \quad 	\text{C} = (-2) \times (-4) -(- 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs lues sur la calculatrice pour A, B et C.
		\item   Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux ? Justifier brièvement.
	\end{enumerate}
\item On pose $D = (x + 1)(x - 1) - (x - 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  $x$ étant un nombre entier, supérieur à 1, montrer que $D$ est un multiple de $2$.
		\item Pour quelles valeurs de $x,~ D$ est-il un nombre négatif ou nul ?\\
Représenter les valeurs trouvées sur un axe en hachurant la partie qui ne convient pas.
	\end{enumerate}
\item	Trouver une expression E de la même forme que celle de A pour laquelle le résultat du calcul est \nombre{2008}.
\end{enumerate}

\begin{exo}\end{exo}
$x$ est un nombre sup\'erieur \`a 2.\\
 On consid\`ere un rectangle VOUS tel que VO $= 2x + 7$ et VS $= 2x - 3$.
 
 \medskip
 
 \begin{center}
 \begin{pspicture}(8,4)
\psframe(1,0)(7,3.5)
\uput[ul](1,3.5){V}   \uput[ur](7,3.5){O}  \uput[dr](7,0){U}  \uput[dl](1,0){S}  
\uput[u](4,3.5){$2x + 7$}  \uput[l](0.75,1.75){$2x - 3$}  
 \end{pspicture}
  \end{center}
  
  \medskip

\begin{enumerate}
\item  On donne $E = (2x + 7) (2x -3)$ et $G = 2(2x + 7) + 2(2x - 3)$.
\begin{enumerate}
\item  D\'evelopper et r\'eduire $E$.
\item  D\'evelopper et r\'eduire $G$.
 \end{enumerate}
\item  Que repr\'esente, g\'eom\'etriquement, l'expression $E$ ? l'expression $G$ ?
\item  D\'eterminer $x$ pour que VO soit le double de VS.\\
Que vaut la valeur de $G$ dans ce cas ?
\end{enumerate}

\end{document}